Las Torres de Hanoi son uno de los juegos matemáticos más conocidos. A primera vista parecen un sencillo rompecabezas de discos y tres varillas, pero detrás de sus movimientos hay una interesante relación entre lógica, patrones, potencias y crecimiento exponencial.
El juego consiste en trasladar una torre de discos desde una varilla hasta otra, siguiendo unas reglas muy sencillas. Pero lo sorprendente aparece cuando aumentamos el número de discos, porque cada disco adicional hace que el número mínimo de movimientos prácticamente se duplique.
En este artículo conocerás la historia y la famosa leyenda de las Torres de Hanoi, descubrirás la fórmula que permite calcular el número mínimo de movimientos y aprenderás a resolver el juego paso a paso.
La historia de las Torres de Hanoi
Las Torres de Hanoi fueron creadas en 1883 por el matemático francés Édouard Lucas (1842-1891), quien es conocido también por sus importantes trabajos en teoría de números y por sus estudios sobre la sucesión de Fibonacci.
Lucas presentó el rompecabezas como un juego matemático utilizando el seudónimo N. Claus de Siam, un nombre relacionado con un juego de palabras basado en su propio nombre. El juego apareció acompañado de una historia ambientada en un templo de Benares, en la India, que hablaba de unos monjes encargados de trasladar 64 discos de oro.
Con el tiempo, esa historia se convirtió en la famosa leyenda de las Torres de Hanoi y el fin del mundo.
Es importante distinguir entre la historia y la leyenda: las Torres de Hanoi que conocemos hoy son un rompecabezas creado en el siglo XIX por Édouard Lucas. La historia de los monjes y los 64 discos forma parte de la presentación legendaria del juego.
A continuación veremos esa leyenda y entenderemos por qué los 64 discos hacen que el número de movimientos sea extraordinariamente grande.
La leyenda de los 64 discos y el fin del mundo
La historia que acompaña a las Torres de Hanoi es tan llamativa como el propio juego.
Según la leyenda, en un templo de Benarés (actual Varanasi, India) existían tres varillas de diamante. Sobre una de ellas se encontraban 64 discos de oro, ordenados de mayor a menor, formando la llamada Torre de Brahma.
Los sacerdotes tenían la misión de trasladar los 64 discos desde la primera varilla hasta otra, siguiendo unas reglas muy estrictas:
- Solo podían mover un disco a la vez.
- Un disco nunca podía colocarse sobre otro disco más pequeño.
- Debían completar el traslado respetando siempre estas reglas.
La leyenda afirmaba que, cuando los sacerdotes terminaran de trasladar los 64 discos, la torre, el templo y los sacerdotes se convertirían en polvo y llegaría el fin del mundo.
¿Es realmente una antigua leyenda india?
Aquí encontramos una curiosidad matemática e histórica.
Aunque la historia está ambientada en la India y presenta un supuesto templo antiguo, las Torres de Hanoi son un rompecabezas del siglo XIX. Édouard Lucas presentó el juego en 1883 y la historia de los sacerdotes y los 64 discos formó parte de la presentación legendaria que acompañó al rompecabezas.
Por eso es importante distinguir entre el juego matemático, creado por Lucas, y la leyenda, que sirve como una forma atractiva de presentar el problema.
Y ahora viene la parte realmente sorprendente: ¿cuánto tiempo necesitarían los sacerdotes para mover los 64 discos si realizaran cada movimiento correctamente y a razón de un movimiento por segundo?
La respuesta nos llevará directamente a una de las ideas matemáticas más interesantes de las Torres de Hanoi: el crecimiento exponencial.
¿Cómo se juegan las Torres de Hanoi?
Las Torres de Hanoi se juegan con tres varillas y varios discos de diferentes tamaños. Al comenzar, todos los discos están apilados en una de las varillas, formando una torre: el disco más grande queda abajo y el más pequeño arriba.
El objetivo es trasladar toda la torre desde la varilla de origen hasta una varilla de destino, utilizando la tercera varilla como apoyo.
Para hacerlo correctamente debes seguir estas reglas:
- Solo puedes mover un disco cada vez.
- Solo puedes mover el disco que está en la parte superior de una torre.
- Nunca puedes colocar un disco grande sobre uno más pequeño.
- Debes trasladar toda la torre respetando las reglas anteriores.
Aunque las reglas parecen sencillas, el número de movimientos aumenta rápidamente cuando agregamos más discos. Por eso las Torres de Hanoi son un excelente ejercicio para trabajar lógica, planificación, patrones y razonamiento matemático.
Ejercicio propuesto
Antes de ver cómo se resuelve, te propongo el siguiente ejercicio. El objetivo es que tú mismo descubras el patrón presente en la solución:
- Busca tres monedas de diferentes tamaños y organízalas una sobre otra de mayor a menor. Luego, coloca tres pedazos de cartulina y comienza a mover las monedas, siguiendo las reglas del juego, de tal forma que al final, las monedas queden en la tercera cartulina. ¿Cuál es el menor número de movimientos que se necesitan?
- Ahora consigue otra moneda de diferente tamaño y determina cuál es el número mínimo de movimientos para pasar las cuatro monedas a la tercera cartulina.
- ¿Y cuántos movimientos se requieren para mover cinco monedas?
Ahora te propongo practicar los movimientos para que encuentres el patrón en el siguiente applet. Recuerda seguir las reglas: NO puedes mover más de un disco a la vez y NO se puede situar un disco encima de otro de menor tamaño.
Torres de Hanói
Imagina que si en lugar de mover un disco cada día, los monjes pudieran mover un disco cada segundo, ¿cuándo acabaría el mundo? si no has encontrado el patrón, no te preocupes, vamos a ello:
¿Cuántos movimientos se necesitan?
El número mínimo de movimientos necesarios para resolver las Torres de Hanoi depende directamente del número de discos.
Si llamamos n al número de discos, podemos calcular el número mínimo de movimientos con la fórmula:
M = 2ⁿ − 1
donde:
- M = número mínimo de movimientos.
- n = número de discos.
Veamos algunos ejemplos:
| Número de discos | Movimientos mínimos |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 7 |
| 4 | 15 |
| 5 | 31 |
| 6 | 63 |
¿Qué patrón observas?
Si comparamos cada resultado con el anterior, vemos que el número de movimientos sigue la regla “multiplicar por 2 y sumar 1”:
1 → 3 → 7 → 15 → 31 → 63
Por ejemplo:
3 × 2 + 1 = 7
7 × 2 + 1 = 15
15 × 2 + 1 = 31
Este patrón nos conduce a la fórmula M = 2ⁿ − 1.
Observa el patrón: cada vez que añadimos un disco, el número mínimo de movimientos se duplica y aumenta en 1.
Por ejemplo:
3 discos:
2³ − 1 = 7 movimientos
4 discos:
2⁴ − 1 = 15 movimientos
5 discos:
2⁵ − 1 = 31 movimientos
Esto explica por qué un juego que parece sencillo puede convertirse rápidamente en un problema enorme. Con pocos discos podemos resolverlo fácilmente, pero al aumentar el número de discos, el número mínimo de movimientos crece de forma exponencial.
Pero ¿de dónde sale exactamente la fórmula 2ⁿ − 1? Para entenderlo, podemos analizar qué ocurre cada vez que añadimos un nuevo disco.
¿Por qué la fórmula es 2ⁿ − 1?
La fórmula M = 2ⁿ − 1 no aparece por casualidad. Podemos descubrirla observando qué sucede cuando aumentamos el número de discos.
Con 1 disco
Si tenemos un solo disco, solo necesitamos 1 movimiento:
1 = 2¹ − 1
Con 2 discos
Para mover los dos discos debemos:
- Mover el disco pequeño.
- Mover el disco grande.
- Colocar el disco pequeño sobre el grande.
En total necesitamos 3 movimientos:
3 = 2² − 1
Con 3 discos
Para mover una torre de tres discos debemos seguir una estrategia:
- Mover los dos discos superiores a una varilla auxiliar.
- Mover el disco más grande a la varilla de destino.
- Mover nuevamente los dos discos sobre el disco grande.
Para mover esos dos discos necesitamos 3 movimientos cada vez. Por eso:
3 + 1 + 3 = 7 movimientos
Y:
7 = 2³ − 1
¿Qué ocurre cuando agregamos otro disco?
Supongamos que ya sabemos resolver una torre de n discos.
Para resolver una torre de n + 1 discos, primero tenemos que mover los n discos superiores fuera del camino. Después movemos el disco más grande y, finalmente, volvemos a colocar los n discos sobre él.
Esta estrategia se llama recursividad porque para resolver un problema grande utilizamos nuevamente la solución de un problema más pequeño del mismo tipo.
Por eso, el número de movimientos sigue esta regla:
M(n + 1) = 2M(n) + 1
Es decir:
movimientos para n discos + 1 movimiento del disco grande + movimientos para volver a colocar los n discos.
Partiendo de:
M(1) = 1
obtenemos:
M(2) = 2(1) + 1 = 3
M(3) = 2(3) + 1 = 7
M(4) = 2(7) + 1 = 15
M(5) = 2(15) + 1 = 31
Y así sucesivamente.
De esta manera aparece el patrón:
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127…
Cada vez que agregamos un disco, el número de movimientos aumenta rápidamente. Por eso decimos que las Torres de Hanoi presentan un crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento también aparece en otros problemas matemáticos, como la famosa historia de los granos de trigo del tablero de ajedrez.
La expresión que resume este patrón es:
M = 2ⁿ − 1
Esta fórmula nos permite calcular el número mínimo de movimientos incluso cuando la cantidad de discos es demasiado grande para resolver el juego manualmente.
¿Cómo se resuelven las Torres de Hanoi?
Resolver las Torres de Hanoi consiste en trasladar todos los discos desde la varilla de origen hasta la varilla de destino, utilizando la tercera varilla como apoyo y respetando las reglas del juego.
La clave está en comprender que una torre grande se puede dividir en problemas más pequeños.
Ejemplo: resolver una Torre de Hanoi de 3 discos
Supongamos que tenemos tres varillas:
A = origen
B = auxiliar
C = destino
Los tres discos comienzan en la varilla A.
Para trasladarlos a C necesitamos realizar 7 movimientos, que es el mínimo posible.
El procedimiento es:
1. Mover el disco pequeño de A → C
2. Luego, mover el disco mediano de A → B
3. A continuación, mover el disco pequeño de C → B
4. Posteriormente, mover el disco grande de A → C
5. Después, mover el disco pequeño de B → A
6. Seguido de esto, mover el disco mediano de B → C
7. Finalmente, mover el disco pequeño de A → C
¡Y listo! Los tres discos están ahora en la varilla C.
Lo importante no es memorizar esta secuencia. Lo importante es entender la estrategia que hay detrás.
La estrategia para cualquier número de discos
Para resolver una torre de n discos, podemos dividir el problema en tres pasos:
1. Trasladar los n − 1 discos superiores desde la varilla de origen hasta la varilla auxiliar.
2. Mover el disco más grande desde la varilla de origen hasta la varilla de destino.
3. Trasladar los n − 1 discos desde la varilla auxiliar hasta la varilla de destino.
Podemos representarlo de forma sencilla:
n − 1 discos → disco grande → n − 1 discos
Esta estrategia explica también la fórmula que vimos anteriormente:
M(n) = 2M(n − 1) + 1
Es decir, para resolver una torre de n discos necesitamos resolver dos veces el problema de n − 1 discos y realizar un movimiento adicional para colocar el disco más grande.
Así sería para resolver la torre de 4 discos:
¿Cuánto tiempo se necesitaría para mover los 64 discos?
Retomando, si la leyenda de los monjes fuera cierta, ¿cuándo acabaría el mundo?. Veamos:
La leyenda de las Torres de Hanoi habla de 64 discos. Ahora podemos utilizar la fórmula que ya conocemos para descubrir cuánto tiempo tomaría completar el traslado.
Recordemos:
M = 2ⁿ − 1
Si tenemos 64 discos:
M = 2⁶⁴ − 1
Por lo tanto:
M = 18.446.744.073.709.551.615 movimientos
Es decir, se necesitarían más de 18 trillones de movimientos en la escala larga utilizada tradicionalmente en español.
Ahora imaginemos que los sacerdotes fueran capaces de realizar un movimiento exactamente cada segundo, sin detenerse nunca.
Tendríamos que esperar aproximadamente:
584.942.417.355 años
¡Más de 584 mil millones de años!
Para poner esta cifra en perspectiva, la edad estimada del universo es de unos 13.800 millones de años. Por lo tanto, completar las Torres de Hanoi de 64 discos a razón de un movimiento por segundo tomaría aproximadamente 42 veces la edad del universo.
Así podemos entender por qué la leyenda resulta tan sorprendente: aunque las reglas del juego son muy sencillas, el número de movimientos crece extraordinariamente rápido cuando aumentamos el número de discos.
Y hay algo todavía más interesante: este enorme número no es una casualidad. Es precisamente la consecuencia del crecimiento exponencial que estudiamos en la fórmula 2ⁿ − 1.
¿Qué aprendemos con las Torres de Hanoi?
Las Torres de Hanoi parecen un juego sencillo, pero detrás de sus reglas encontramos varias ideas matemáticas importantes: lógica, patrones, recursividad y crecimiento exponencial.
La fórmula
M = 2ⁿ − 1
nos permite comprobar cómo una pequeña variación en el número de discos produce un aumento enorme en la cantidad de movimientos necesarios.
Por eso este rompecabezas es mucho más que un juego: es una excelente manera de descubrir matemáticas a través de la experimentación y el razonamiento. También puedes explorar otros juegos y retos matemáticos, como el cubo de Rubik.
¿Cuántos discos puedes resolver respetando el número mínimo de movimientos? Empieza con 3, intenta con 4 y comprueba cómo aumenta el número de movimientos.
Espero que esta historia y el reto de las Torres de Hanoi hayan sido de tu agrado. Anímate a aprender, experimentar y compartir tus experiencias.
En Salón Matemático queremos seguir acercando las matemáticas a través de historias, problemas y actividades que despierten tu curiosidad. Si te gustó este artículo, compártelo con tus compañeros, estudiantes o amigos.
¡Feliz aprendizaje!