Un nuevo altar para Apolo

La presente entrada «Un nuevo altar para Apolo» pretende contextualizar el papel que juega la historia de las Matemáticas dentro del ámbito educativo en general y sus diversas interacciones con la sociedad. Analizaremos una situación histórica particular sobre uno de los Tres Problemas Clásicos de la Antigüedad «La Duplicación del Cubo» que involucra el desarrollo evolutivo del concepto de número Irracional, con el fin de buscar herramientas didácticas que permitan el aprendizaje del mismo.

Iniciamos compartiendo una narración breve, cuento o relato relacionado con este problema. Así como en las historias que hemos compartido en post anteriores, éstas traen inmersos trucos numéricos, como el propuesto en Carl El Niño Genio. Trucos que permitieron resolver algunos de los problemas más antiguos de los Egipcios, como en Tales de Mileto y La Gran Pirámide. Además, que permitieron acercar los números desde la India hasta nosotros. Iniciemos entonces…

Un Nuevo Altar para Apolo

Delos es una pequeña isla de Grecia que hoy en día se encuentra deshabitada. Apolo, el dios griego de la belleza, La Luz, las artes y la adivinación, tenía en esta ciudad, un altar en forma de cubo.

Una antigua leyenda cuenta que en el año 430 a.C, a Atenas llegó una epidemia de fiebre tifoidea que estaba matando a muchas personas. La gente estaba desesperada porque nadie sabía qué hacer para controlar la enfermedad, de manera que decidieron preguntar al dios Apolo cómo solucionar el terrible problema.

– La enfermedad desaparecerá cuando mi altar en Delos sea reemplazado por otro, también de forma cúbica, cuyo nuevo tamaño sea el doble del actual – dijo Apolo.

Los griegos siguieron las instrucciones recibidas. Midieron el lado del cubo que formaba el altar y construyeron otro de manera que su lado midiera el doble. Lo decoraron  y quedó mucho más lujoso que el primero. Pero pasó el tiempo y la plaga continuó. Los griegos no entendían qué había ocurrido, si habían seguido las instrucciones de Apolo.

Cuando volvieron a consultar para saber qué había pasado, Apolo les respondió – El nuevo altar debe tener el doble de volumen y ustedes hicieron uno con el doble del lado.

Desesperados, los griegos acudieron a Platón. No sabían cómo resolver el problema. Platón les explicó cuál había sido su error.

Apolo les pidió un nuevo altar cuyo volumen sea el doble del actual, pero cuando ustedes construyeron uno con el doble del lado, el nuevo volumen es ocho veces mayor – dijo Platón y continuó: – Lo grave de la situación, queridos amigos, es que usando solamente regla y compás, este problema no ha podido ser solucionado.

En la época de Platón se consideraba que la regla y el compás eran instrumentos divinos y eran los únicos aceptados para resolver problemas de Geometría.

Los griegos quedaron muy preocupados. Sí, como les dijo Platón, el problema no tenía solución usando solamente regla y compás, significa que no podría complacer a Apolo y la enfermedad seguiría matándolos.

Lo que en realidad quiere Apolo es despertar en ustedes su interés por la Geometría, que tan abandonada la han tenido últimamente – explicó Platón.

Afortunadamente, parece que Platón tenía razón. Apolo se compadeció de los griegos y generosamente decidió detener la enfermedad.

Actividad

Desde lo interpretativo podemos invitar a nuestros estudiantes a complementar información al respecto de esta historia. Cuestionarlos respecto a ¿Sabes dónde queda Grecia? Ubícala en un mapa. ¿Has oído hablar del dios Apolo? Busca más información sobre él. Imagina que el lado del primer altar medía 1 metro. ¿Cuál sería su volumen? Si se construye otro altar cuyo lado mide 2 metros, el doble del anterior, ¿Cuál es su volumen? ¿Cuántas veces mayor es el volumen del segundo altar que el del primero?

En cuanto a la competencia propositiva, podemos plantear actividades como la siguiente. Construye en plastilina dos cubos, cada uno de 2 centímetros de lado. Únelos y usando esa misma plastilina arma nuevamente un cubo. ¿Qué relación hay entre el volumen de uno de los primeros cubos que armaste con el volumen del ultimo cubo? ¿Aproximadamente, cuánto mide el lado del cubo más grande?

Y desde lo argumentativo podemos plantear el siguiente interrogante. ¿Qué relación tiene esta actividad con el problema de la leyenda anterior?

Continuemos con el análisis de esta situación histórica particular de la duplicación del cubo.

Problemas clásicos de la antigüedad

En el siglo V a.C aparecen una serie de problemas que cautivaron las más brillantes mentes de los matemáticos. Entre los muchos problemas planteados en este contexto hay tres que traspasaron la «barrera del tiempo» y hoy siguen siendo de gran admiración y estudio: La duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.

Una primera característica común de los tres problemas es que no encuadraban dentro de la geometría de polígonos y poliedros, de segmentos, círculos y cuerpos redondos conocidos en su época. Su solución sólo podía obtenerse utilizando otras figuras o medios que iban más allá de las construcciones fundadas en las intersecciones de rectas y circunferencias, o de construcciones hechas exclusivamente con instrumentos platónicos.

En segundo lugar, y esto llamó la atención de los geómetras griegos, algunos de los métodos que resolvían uno de esos problemas a veces resolvían también otro, hecho que revelaba alguna relación entre los mismos, relación que, sin embargo, permaneció siempre oculta para ellos.

¿Por qué la limitación a la regla y el compás?

Todos estos problemas tenían la limitante que debían ser resueltos solamente con regla y compás. Dicha restricción, se añade a la utilización exclusiva de razones conmensurables, introduciendo límites extraordinarios a las matemáticas de la Grecia Antigua. Platón, por una premisa estética, trata de imponer que los tres problemas se resuelvan con regla y compás. Por ello, los tres problemas no encuadraban.

El problema de la extracción de la raíz cúbica

Debemos destacar que los griegos no sabían extraer la raíz cúbica de números que no fueran cubos perfectos, lo que hizo que el problema de la duplicación del cubo, como fue propuesto, fuera difícil para ellos.

De ahí que la duplicación del cubo es en sí el problema de la constructibilidad con regla y compás, del número «Raíz Cúbica de Dos».

El origen del problema de la duplicación del cubo tiene un comienzo mítico que se remonta al siglo V a.C en Atenas con la muerte de su gobernador Pericles, atribuida a la peste que afectó fuertemente a la población. Por tal razón los atenienses se ven obligados a viajar a la isla de Delos en busca del Dios Apolo (dios que purifica y sana cuerpos). Y la respuesta del Oráculo es… un problema matemático:

Construir en el templo de Apolo un altar semejante al existente pero que fuese el doble de grande… El altar tenía forma cúbica

Los atenienses toman la arista del altar que ya existía y la multiplican por 2. Pero la peste no cesó, el altar no duplicó el volumen del original si no que lo multiplicaba por 8.

La isla de Delos pertenecía a las islas Cícladas, situadas al este de la península del Peloponeso. En ella surgieron los tres problemas clásicos griegos.

Es claro que la ecuación a resolver es:

Método de Tartaglia

Existe una construcción sobre el número «Raíz Cúbica de Dos» utilizando regla marcada, la cual fue realizada por el matemático italiano Niccoló Fontana Tartaglia (1499-1557). Lo importante de esta construcción radica no solo en que resuelve el problema de la duplicación del cubo, sino que presenta una riqueza pedagógica, la cual es aplicable en educación secundaria.

Construcción del segmento de medida «Raíz Cúbica de Dos» con regla marcada

Sea el triángulo ABC equilátero cuya unidad de medida del lado es igual a 1.

Se prolonga el lado BC de tal forma que D–B–C de manera que segmento DB = 1, se prolonga el segmento AB

Se traza el segmento DE tal que se cumpla que D – A – E, con la regla marcada se traza elsegmentoFCdemodoque F–E–C y FE=1

Considere AE = y, EC = x y que la medida del ángulo AFE = β, haciendo cálculo de algunas medidas de los ángulos se obtiene:

Debemos probar que EC = «Raíz Cúbica de Dos»

Demostración

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo CAE

Aplicando la ley de senos en el triángulo FBC

Se aplica la ley de senos en el triángulo FAE

Sustituyendo (3) en (2) se obtiene

Sustituyendo (4) en (1) se tiene

Por lo tanto, encontramos el valor de «Raíz Cúbica de Dos».

Para concluir esta entrada, quiero hacer referencia a la importancia del uso de herramientas como la regla y el compás para el proceso de enseñanza – aprendizaje de la Geometría. Los programas en realidad son de mucha ayuda, pues nos ahorran tiempo y aseguran en la mayoría un trabajo correcto. Pero el realizar nuestras propias construcciones teniendo contacto físico con las herramientas, les aseguro que puede ser mas divertido que estar frente a una pantalla de un computador. Además, normalmente lo que se aprende de esta forma tiene mayor grado de retención.

Las herramientas como la regla y el compás no pueden dejar de usarse, por que gracias a estas es que tenemos a la mano todo un mundo de geometría que nos lleva a conocer cosas asombrosas y convencernos de que todo en nuestro mundo tiene un componente geométrico.

Espero que este Post haya sido de tu agrado. Anímate a aprender y compartir tus experiencias. Salón Matemático agradece y estará atento a tus comentarios.  Haz parte de nuestra comunidad en redes sociales, síguenos en FaceBook, Twitter y en nuestro canal de YouTube. No olvides registrarte al boletín de noticias para estar al tanto de nuestro contenido. Comparte nuestro Blog a tus contactos. ¡Feliz Aprendizaje!